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四步手算十进制浮点数转二进制(IEEE754-32位)

在这篇文章中我们将以数字263.3为例

第一步:将整数部分以二进制形式表达

数字263.3的整数部分为263

2 | 263    //将整数部分用2整除,得到的结果和余数分别写在下一行的中间和右边

2 | 131 | 1

2 | 65   | 1

2 | 32   | 1

2 | 16   | 0

2 | 8     | 0

2 | 4     | 0

2 | 2     | 0

2 | 1     | 0

2 | 0     | 1     //将整数部分除至0为止

将得到的余数从下往上抄成一行,得263的二进制表达为 100000111

第二步:将小数部分以二进制形式表达

数字263.3的小数部分为0.3

0.3 * 2 | 0.6 | 0    //将小数部分与2相乘,将结果和结果的整数部分分别写在同一行的中间和右边

0.6 * 2 | 1.2 | 1   //将上一行的结果与2相乘,并将结果做相同处理


0.2 * 2 | 0.4 | 0     //Label1

0.4 * 2 | 0.8 | 0

0.8 * 2 | 1.6 | 1

0.6 * 2 | 1.2 | 1     //Label2


0.2 * 2 | 0.4 | 0     //此行与Label1行重复,可以预测[Label1,Label2]会从此开始无限循环

将最右列从上往下抄成一行,并添加到263的二进制表达之后,中间以小数点分隔,得:

100000111.01 0011 0011 0011…..(无穷多个0011)

第三步:将上数写成二进制科学计数法的形式(1.xxx * 2^n):

通过小数点向左移8位,得:

1.0000 0111 0100 1100 1100 1100 ….. * 2^8    //(得到表示值8,可用于后面的计算)

第四步:根据IEEE754规范求值:

IEEE754-32位单精度浮点数规范为

       x + xxxxxxxx + xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

// 符号位(1位)+指数部分(8位)+小数部分(23位),加号表示连接

符号位元由数字符号决定,负数为1,非负数为0。因263.3为正数,故符号位为0

指数部分为偏正值+表示值。IEEE754规范下的32位单精度浮点数偏正值为127。故指数部分为127 + 8 = 135, 即1000 0111

小数部分为第三步得到的二进制科学计数法形式下小数点后23位, 即 0000 0111 0100 1100 110

最后,得263.3的二进制形式:

0(符号位)10000111(指数部分)00000111010011001100110(小数部分),即:

0100 0011 1000 0011 1010 0110 0110 0110     //共32位

因位数有限,没取完的无限循环部分会被舍去,因此十进制数在转化成二进制后再转回十进制时会出现误差,造成了浮点数运算的精度问题,若有兴趣了解各程序语言对浮点数运算精度问题的处理,可浏览:

http://0.30000000000000004.com/

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